拉格朗日中值定理证明

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拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的
去。罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o
(如图1)。拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_
∈，使
(如图2).
比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f
，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:1.首先分析要证明的等式：
我们令
……(1)则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈
t就可以了。由
有，f(b)-tb=f(a)-ta……(2)分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且
F(a)=F(b)
。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈
)=t，代人(1
)得结论
2.考虑函数
我们知道其导数为
且有
F(a)=F(b)=0.作辅助函数
，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f
F
。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’
从而有
结论成立.