函数的无穷大,有界,无界,极限怎么区分?
admin
2023-07-17 21:33:07
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函数的无穷大,有界,无界,极限怎么区分?有界是否就意味着有极限呢?还有无穷大是不是:无界所以就无穷大?看看这个题目;到底是否有界,是否无穷大?原因···
有界不一定有极限
无界也不一定就无穷大,具体要看实际情况,如LIM X, X本身是无界的,但这一题 X->0
却有极限,

所给题目中,一个为无穷大,一个为有界,所以结果为无穷大.
根据定义来吧,无穷大也是极限的一种,
A有界是指 存在与A无关正实数M,对A的所有可能取值都有|A|1.有界和有极限没有必然联系。如数列1,-1,1,...,(-1)^n,...有界但极限不存在!而1,2,3,4,...,n,...你也可以说它的极限为正无穷!
2. 无界不一定是无穷大,但是无穷大一定无界。
上面说了无穷大是一个极限概念,需要无限个、有顺序要求的可以任意大的数,而无界则只需一个就足以说明。
3.题目无界但不是无穷大。无界是因为可以找到一个x趋于0的方式(如 x=1/((4n+1)*pi/2)),使得函数值可以任意大,不是无穷大是因为函数本身在x趋于0的时候没有极限,谈不上无穷大这个概念。
解答:

无穷大:越来越大,无止境的大下去,无限度地大下去。但是,不可以正负无穷大之间波动。

有界: 有一个范围限制函数的值域。

无界: 没有一个范围可以限制,一会儿往正无穷大波动,一会儿往负无穷大波动。

极限: 越来越趋向于一个固定值,函数值与固定值之差的绝对值趋向于无穷小。
例外:如果单调地趋向于正无穷大,我们也说极限是正无穷大;同样地,
如果单调地趋向于负无穷大,我们也说极限是负无穷大。
但是,如果一会儿正,一会儿负,绝对值趋向于无穷大,
也就是在正负无穷大之间波动,我们说“极限不存在”。

x趋向于0时,1/x²趋向于无穷大;sin(1/x)是有界的,在±1之间,但不是无穷大。

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